Question

如圖，三棱錐P ABC中，已知PA⊥平面ABC，△ABC是邊長為2的正三角形，D，E分別為PB，PC中點

（1）若PA＝2，求直線AE與PB所成角的余弦值；
（2）若PA，求證：平面ADE⊥平面PBC

Answer 1

（1），；（2） 

試題分析：(1)首先建立空間直角坐標系，給出相關點的坐標，利用空間向量求解；(2) 利用空間向量求解平面的法向量，然后根據法向量互相垂直可證明
試題解析：（1）如圖，取AC的中點F，連接BF，則BF⊥AC 以A為坐標原點，過A且與FB平行的直線為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系

則A(0，0，0)，B(，1，0)， C(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，
從而＝(，1， 2)， ＝(0，1，1)  
設直線AE與PB所成角為θ，
則cosθ＝||＝
即直線AE與PB所成角的余弦值為                5分
（2）如上圖，則
A(0，0，0)，B(，1，0)， C(0，2，0)，P(0，0，)，E(0，1，)，
設平面PBC的法向量為，則

令，則，所以
同理可求平面ADE的法向量
所以，即
于是平面ADE⊥平面PBC