Question

如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求B點在AM上D點在AN上，且對角線MN過點C，已知AB=3米，AD=2米．
（Ⅰ）要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則DN的長應在什么范圍內？
（Ⅱ）當DN 的長度為多少時，矩形花壇AMPN的面積最小？并求出最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設DN的長為x（x＞0）米，則|AN|=（x+2）米，表示出矩形的面積，利用矩形AMPN的面積大于32平方米，即可求得DN的取值范圍．
（2）化簡矩形的面積，利用基本不等式，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）設DN的長為x（x＞0）米，則|AN|=（x+2）米
∵

|DN|

|AN|

=

|DC|

|AM|

，∴|AM|=

3(x+2)

x

∴SAMPN=|AN|•|AM|=

3(x+2)2

x

由S_AMPN＞32得

3(x+2)2

x

＞32
又x＞0得3x²-20x+12＞0
解得：0＜x＜

2

3

或x＞6
即DN的長取值范圍是(0，

2

3

)∪(6，+∞)
（Ⅱ）矩形花壇的面積為y=

3(x+2)2

x

=

3x2+12x+12

x

=3x+

12

x

+12(x＞0)≥2

3x• 12 x

+12=24
當且僅當3x=

12

x

，即x=2時，矩形花壇的面積最小為24平方米．

點評：本題考查根據題設關系列出函數關系式，并求出處變量的取值范圍；考查利用基本不等式求最值，解題的關鍵是確定矩形的面積．