Question

【題目】設各項均為正數的數列{an}滿足 =pn+r（p，r為常數），其中Sn為數列{an}的前n項和．
（1）若p=1，r=0，求證：{an}是等差數列；
（2）若p= ，a1=2，求數列{an}的通項公式；
（3）若a2015=2015a1 ， 求pr的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由p=1，r=0，得Sn=nan，

∴Sn﹣1=（n﹣1）an﹣1（n≥2），

兩式相減，得an﹣an﹣1=0（n≥2），

∴{an}是等差數列

（2）解：令n=1，得p+r=1，∴ ，

則 ，

∴ ，兩式相減，

得 ，

∴ ，

化簡得 ，

∴ ，

又a1=2適合 ，

∴

（3）解：由（2）知r=1﹣p，

∴Sn=（pn+1﹣p）an，得Sn﹣1=（pn+1﹣2p）an﹣1（n≥2），

兩式相減，得p（n﹣1）an=（pn+1﹣2p）an﹣1（n≥2），

易知p≠0，∴ ．

①當 時，得 ，

∴ ，

滿足a2015=2015a1；

②當 時，由p（n﹣1）an=（pn+1﹣2p）an﹣1（n≥2），又an＞0，

∴p（n﹣1）an＜pnan﹣1（n≥2），即 ，

∴ ，不滿足a2015=2015a1；

③當 且p≠0時，類似可以證明a2015=2015a1也不成立；

綜上所述， ， ，∴

【解析】（1）利用遞推關系即可得出；（2）利用遞推關系與“累乘求積”即可得出；（3）利用遞推關系，對q分類討論即可得出．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等差關系的確定和數列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．