Question

【題目】已知單調遞增的等比數列{an}滿足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2 ， a4的等差中項． （Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=anlog2an ， 其前n項和為Sn ， 若（n﹣1）2≤m（Sn﹣n﹣1）對于n≥2恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設等比數列的{an}首項為a1 ， 公比為q． 由題意可知： ，
解得： 或 ，
∵數列為單調遞增的等比數列，
∴an=2n；
（Ⅱ）bn=anlog2an =n2n ，
∴Sn=b1+b2+…+bn=121+222+…+n2n ， ①
2Sn=122+223+324+…+n2n+1 ， ②
① ﹣②，得：﹣Sn=2+22+23+…+2n﹣n2n+1
= ﹣n2n+1=2n+1﹣2﹣n2n+1 ，
∴Sn=（n﹣1）2n+1+2，
若（n﹣1）2≤m（Sn﹣n﹣1）對于n≥2恒成立，
則（n﹣1）2≤m[（n﹣1）2n+1+2﹣n﹣1]=m[（n﹣1）2n+1+1﹣n]對于n≥2恒成立，
即 = 對于n≥2恒成立，
∵ = ，
∴數列{ }為遞減數列，
則當n=2時， 的最大值為 ．
∴m≥ ．
則實數m得取值范圍為[ ，+∞）
【解析】（Ⅰ）設出等比數列{an}的首項和公比，由已知列式求得首項和公比，則數列{an}的通項公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的通項公式代入bn=anlog2an ， 利用錯位相減法求得Sn ， 代入（n﹣1）2≤m（Sn﹣n﹣1），分離變量m，由單調性求得最值得答案．
【考點精析】本題主要考查了對數的運算性質和數列的前n項和的相關知識點，需要掌握①加法：②減法：③數乘：④⑤；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．