Question

若拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，過F且垂直于x軸的直線與拋物線交于兩點P₁，P₂，已知|P₁P₂|=8．
（1）過點M（3，0）且斜率為a的直線與曲線C相交于A、B兩點，求△FAB的面積S（a）及其值域．
（2）設m＞0，過點N（m，0）作直線與曲線C相交于A、B兩點，若∠AFB恒為鈍角，試求出m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由條件得2p=8，∴拋物線C的方程為y²=8x，
設過M所作直線方程為y=a（x-3）代入y²=8x得ay²-8y-24a=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=，y₁y₂=-24，
∴S（a）=|MF||y₁-y₂|=2＞2
∴值域為（2，+∞）；
（2）設直線方程為ty=x-m，代入y²=8x得y²-8ty-8m=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=8t，y₁y₂=-8m
∵F（2，0），∴=（x₁-2，y₁），=（x₂-2，y₂），
∵∠AFB為鈍角，∴•＜0，∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂＜0，
即x1x2-2（x1+x2）+4-8m＜0，
∴-2[t（y₁+y₂）+2m]+4-8m＜0，
因此m²-12m+4＜0，∴6-4＜m＜6+4
∵m≠2，∴m的范圍是（6-4，2）∪（2，6+4）．
分析：（1）根據|P₁P₂|=8，可得2p=8，從而可得拋物線C的方程，直線方程代入拋物線方程，利用韋達定理，即可求△FAB的面積S（a），從而可求其值域；
（2）直線方程代入y²=8x得一元二次方程，用坐標表示向量，利用∠AFB為鈍角，可得•＜0，從而可得不等式，由此可求實數m的取值范圍．
點評：本題考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，正確運用韋達定理是關鍵．