Question

如圖，多面體ABCDS中，面ABCD為矩形，且, 。（I）求多面體ABCDS的體積；（II）求AD與SB所成角的余弦值；（III）求二面角A—SB—D的余弦值。

Answer 1

（1）（2）；（3）

本試題主要是考查同學們運用點線面的位置關系，求解異面直線所成的角，以及二面角的求解問題。培養了同學們的空間想象能力和邏輯推理能力和計算能力的運用。
（1）因為多面體ABCDS的體積即四棱錐S—ABCD的體積。利用棱錐的體積公式求解得到。
（2）分析; 要求AD與SB所成的角，即求BC與SB所成的角,那么利用平移法得到角，解三角形得到結論。
（3）利用三垂線定理得到二面角，然后借助于三角形的知識求解得到。
解：（I）多面體ABCDS的體積即四棱錐S—ABCD的體積。
所以
II）矩形ABCD，

=

AD//BC，即BC=a，

要求AD與SB所成的角，即求BC與SB所成的角在中，由（1）知面ABCD。

CD是CS在面ABCD內的射影，且
 
BC與SB所成的角的余弦為
從而SB與AD的成的角的余弦為
（III）
面ABCD。
BD為面SDB與面ABCD的交線。
SDB
于F，連接EF從而得：
為二面角A—SB—D的平面角
在矩形ABCD中，對角線
中，
由（2）知在
而

為等腰直角三角形且
，
所以所求的二面角的余弦為