Question

已知平面上的兩個定點O（0，0），A（0，3），動點M滿足|AM|=2|OM|．
（Ⅰ）求動點M的軌跡方程；
（Ⅱ）若經過點的直線l被動點M的軌跡E截得的弦長為2，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設M（x，y），直接利用條件求點的軌跡方程．
（Ⅱ） 求出圓心E到直線l的距離為d，根據弦長利用弦長公式求得直線l的斜率，從而得到直線l的方程．
解答：解：（Ⅰ）設M（x，y），由條件|AM|=2|OM|得：，
化簡整理，得：x²+y²+2y-3=0，即x²+（y+1）²=4．
（Ⅱ）設圓x²+（y+1）²=4的圓心E到直線l的距離為d，則，
若直線l的斜率存在，設其為k，則，即，
∴，解得，從而  ．
當直線l的斜率不存在時，其方程為，易驗證知滿足條件．
綜上，直線l的方程為，或．
點評：本題考查直接利用條件求點的軌跡方程的方法，點到直線的距離公式、弦長公式的應用，體現了分類討論的數學思想，
注意考慮直線的斜率不存在的情況．