Question

已知平面上的兩個定點O（0，0），A（0，3），動點M滿足|AM|=2|OM|．
（Ⅰ）求動點M的軌跡方程；
（Ⅱ）若經過點（

3

，2）的直線l被動點M的軌跡E截得的弦長為2，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設M（x，y），直接利用條件求點的軌跡方程．
（Ⅱ） 求出圓心E到直線l的距離為d，根據弦長利用弦長公式求得直線l的斜率，從而得到直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）設M（x，y），由條件|AM|=2|OM|得：

x2+(y-3)2

=2

x2+y2

，
化簡整理，得：x²+y²+2y-3=0，即x²+（y+1）²=4．
（Ⅱ）設圓x²+（y+1）²=4的圓心E到直線l的距離為d，則d=

22-12

=

3

，
若直線l的斜率存在，設其為k，則l：y-2=k(x-

3

)，即kx-y+2-

3

k=0，
∴

|3- 3 k|

k2+1

=

3

，解得k=

3

3

，從而  l：x-

3

y+

3

=0．
當直線l的斜率不存在時，其方程為x=

3

，易驗證知滿足條件．
綜上，直線l的方程為x=

3

，或x-

3

y+

3

=0．

點評：本題考查直接利用條件求點的軌跡方程的方法，點到直線的距離公式、弦長公式的應用，體現了分類討論的數學思想，
注意考慮直線的斜率不存在的情況．