Question

【題目】已知橢圓：經過點，離心率為.　

(1)求橢圓的標準方程；

(2)過坐標原點作直線交橢圓于、兩點，過點作的平行線交橢圓于、兩點.

①是否存在常數，滿足？若存在，求出這個常數；若不存在，請說明理由；

②若的面積為， 的面積為，且，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2） ①，②

【解析】

（1）利用橢圓的性質，代入數據，計算a,b，即可（2）①分別設出AB和OP的方程，結合橢圓方程，用斜率表示，計算即可②將這兩個面積和轉化成三角形OBA的面積，然后結合直線與圓錐曲線方程，計算最值，即可。

（1）得到，結合得到，

將點代入橢圓方程中，解得

所以橢圓方程為：

（2）

①設OP直線方程為，結合橢圓方程，代入

得到，設

，而結合焦半徑公式

設AB的直線方程為，代入橢圓方程，計算出

，結合，代入

可得

②分析圖可知，所求面積之和實則為，故

設直線AB的方程為，則

其中d為圓心O到直線AB的距離，則則

將直線方程代入橢圓方程，得到

解得，代入中，得到

，令，得到，

則當時，該函數取到最大值，代入中，得到。