Question

【題目】已知函數f（x）=ln（1+x）﹣ （a＞0）
（1）若x=1是函數f（x）的一個極值點，求a的值；
（2）若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（3）證明： （e為自然對數的底數）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

∴ ，

∵x=1是函數f（x）的一個極值點，

f′（1）=0即a=2；

（2）解：∵f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）min≥0，

當0＜a≤1時，f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，

即f（x）在[0，+∞）上為增函數，

∴f（x）min=f（0）=0成立，即0＜a≤1，

當a＞1時，令f′（x）≥0，則x＞a﹣1，

令f′（x）＜0，則0≤x＜a﹣1，

即f（x）在[0，a﹣1）上為減函數，在（a﹣1，+∞）上為增函數，

∴f（x）min=f（a﹣1）≥0，又f（0）=0＞f（a﹣1），則矛盾．

綜上，a的取值范圍為（0，1]．

（3）解：要證 ，只需證 ，

兩邊取自然對數得， ，

ln ﹣ ＞0ln（1+ ）﹣ ＞0，

由（2）知a=1時，f（x）=ln（1+x）﹣ 在[0，+∞）單調遞增，

又 ＞0，f（0）=0，

∴f（ ）=ln ﹣ ＞f（0）=0，

成立．

【解析】（1）求出函數的導數，得到關于a的方程，解出即可；（2）問題轉化為f（x）min≥0，根據函數的單調性，通過討論a的范圍求出a的具體范圍即可；（3）不等式兩邊取對數，得到ln（1+ ）﹣ ＞0，結合函數的單調性證明即可．
【考點精析】掌握函數的極值與導數和函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．