Question

【題目】已知圓，點是直線上一動點，過點作圓的切線

（1）當的橫坐標為2時，求切線方程；

（2）求證：經過三點的圓必過定點，并求此定點的坐標；

（3）當線段長度最小時，求四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）

【解析】

（1）點，可設切線方程為：，利用圓心到直線的距離為半徑可得，注意斜率不存在的直線也是圓的切線．

（2）設，過三點的圓的直徑為，利用圓的直徑式方程可得圓的一般方程，整理后可得圓過定點并能求得定點坐標．

（3）利用（2）的結論計算弦的方程，再計算到的距離后得到弦長與的關系式，由此可得弦長的最小值 ．

（1）當斜率不存在時，符合；

當斜率存在時，設切線方程為：，故，解得，

故切線方程為：，

綜上，過的切線方程為或．

（2）設，因為，，

所以圓必過點且以為直徑，其方程為：

即，

整理得到：　　

由， 解得或，所以圓過定點．

（3）因圓方程為，

圓：即．

②－①得圓方程與圓相交弦所在直線方程為

，點到直線的距離，

相交弦長即．

當時，有最小值，此時，四邊形的面積．