Question

【題目】已知M（ ，0），N（2，0），曲線(xiàn)C上的任意一點(diǎn)P滿(mǎn)足： = | |．
（Ⅰ）求曲線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線(xiàn)C與x軸的交點(diǎn)分別為A、B，過(guò)N的任意直線(xiàn)（直線(xiàn)與x軸不重合）與曲線(xiàn)C交于R、Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)AR與BQ交于點(diǎn)S．問(wèn)：點(diǎn)S是否在同一直線(xiàn)上？若是，請(qǐng)求出這條直線(xiàn)的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P（x，y），∵M(jìn)（ ，0），N（2，0）， ∴ =（﹣ ，0）， =（x﹣ ，y）， =（2﹣x，﹣y），
代入 = | |，化簡(jiǎn)得 + =1，
所以曲線(xiàn)C的方程為 + =1；
（Ⅱ）結(jié)論：點(diǎn)S是在同一條直線(xiàn)x= 上．
理由如下：
（i）當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為y=k（x﹣2），
將直線(xiàn)方程代入曲線(xiàn)C： + =1中，
化簡(jiǎn)得：（5+9k2）x2﹣36k2x+（36k2﹣45）=0．
設(shè)點(diǎn)R（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），利用根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2= ，x1x2= ，
在曲線(xiàn)C的方程中令y=0得x=±3，不妨設(shè)A（﹣3，0），B（3，0），
則kBR= ，則直線(xiàn)BR：y= （x﹣3）．
同理直線(xiàn) ．
由直線(xiàn)方程BR、AQ，消去y，
得x= = = = ，
所以點(diǎn)S是在直線(xiàn)x= 上；
（ii）當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，則直線(xiàn)方程為x=2．
可得點(diǎn)S的橫坐標(biāo)為 ．
綜合（i）（ii）得，點(diǎn)S是在同一條直線(xiàn)x= 上
【解析】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P（x，y），通過(guò)M、N點(diǎn)坐標(biāo)，可得 、 、 的坐標(biāo)表示，利用 = | |計(jì)算即可；（Ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程并代入曲線(xiàn)C中，化簡(jiǎn)后利用韋達(dá)定理計(jì)算即得結(jié)論；當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，即得結(jié)論．