Question

【題目】已知函數在處的切線斜率為.

（1）求實數的值，并討論函數的單調性；

（2）若，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見證明

【解析】

(1)先對函數求導，由函數在處的切線斜率為即可求出的值，進而可得函數的單調性；

(2)要證，即證，構造函數，，用導數的方法求函數的最小值和函數的最大值，即可得出結論.

（1）

由切線斜率，解得．

，其定義域為，

令，解得，故在區間上單調遞增；

令，解得，且，故在區間和區間上單調遞減；

（2）由（1）知，定義域為．

從而等價于，

設，則，.

當時，，當時，.

故在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

從而在的最小值為.

設，則，

當時，，當時，

故在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

從而在的最大值為，

綜上所述，在區間上恒有成立，即．