Question

【題目】已知：函數.

（1）此函數在點處的切線與直線平行，求實數的值；

（2）在（1）的條件下，若，恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）3.

【解析】

（1）對函數進行求導，求出在點處切線的斜率，求出直線的斜率，根據兩直線平行，得到等式，求出實數的值。

（2）方法一：在條件下，先取特殊值滿足不等式，求出的最大值，再證明當時，不等式恒成立；

方法二：當時，恒成立，轉化為對恒成立，求的最小值大于.通過二次求導法，求出的最小值的取值范圍，最后求出的最大值。

（1）

點處的切線與直線平行

（2）法一：當時，恒成立，

令，有，

又為正整數，的最大值不大于.

下面證明當時，恒成立，

即證當時，恒成立.

令，

則，當時，；

當時，，當時，

取得極小值.

當時，恒成立.

法二：當時，恒成立，

即對恒成立.

即的最小值大于.

記，

則，在上連續遞增，

又，

存在唯一實根，且滿足：，

由時，，；

時，，知；

的最小值為

的最大值為3, 的最大值為3.