Question

已知函數f（x）= xe^-x（x∈R）。
 （1）求函數f（x）的單調區間和極值；
 （2）已知函數y=g（x）的圖象與函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，證明當x>1時，f（x）>g（x）；
 （3）如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），證明x₁+x₂>2。

Answer 1

解：（1）f'（x）=（1-x）e^-x
令f'（x）=0，解得x=1
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

所以f（x）在（-∞，1）內是增函數，在（1，+∞）內是減函數
函數f（x）在x=1處取得極大值f（1），且。
（2）證明：由題意可知g（x）=f（2-x），得g（x）=（2-x）e^x-2
令F（x）=f（x）-g（x），即F（x）=xe^-x+（x -2）e^x-2
于是F'（x）=（x-1）（e^2x-2-1）e^-x，
當x>1時，2x-2>0，從而e^2x-2-1 >0
又e^-x>0，
所以F'（x）>0
從而函數F（x）在[1，+∞）上是增函數
又F（1）=e^-1-e^-1=0，
所以x>1時，有F（x）>F（1）=0，即f（x）>g（x）。
（3）①若（x₁-1）（x₂-1）=0，由（1）及f（x₁）= f（x₂），得x₁=x₂=1，與x₁≠x₂矛盾
②若（x₁-1）（x₂-1）>0，由（1）及f（x₁）=f（x₂），得x₁=x₂，與x₁≠x₂矛盾
根據①②得（x₁-1）（x₂-1）<0
不妨設x₁<1，x₂>1
由（2）可知，f（x₂）>g（x₂），g（x₂）=f（2-x₂），
所以f（x₂）>f（2 -x₂），
從而f（x₁）>f（2-x₂）
因為x₂>1，
所以2-x₂<1
又由（1）可知函數f（x）在區間（-∞，1）內是增函數，
所以x₁>2-x₂，即x₁+x₂>2。