Question

（2010•宜春模擬）已知線段CD=2

3

，CD的中點為O，動點A滿足AC+AD=2a（a為正常數）．
（1）建立適當的直角坐標系，求動點A所在的曲線方程；
（2）若a=2，動點B滿足BC+BD=4，且OA⊥OB，試求△AOB面積的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先以O為圓心，CD所在直線為軸建立平面直角坐標系，對開2a與2

3

的大小關系進行分類討論，從而即可得到動點A所在的曲線；
（2）當a=2時，其曲線方程為橢圓

x2

4

+y2=1，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），OA的斜率為k（k≠0），則OA的方程為y=kx，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長（即應用弦長公式），求得△AOB面積，最后求出面積的最大值即可，從而解決問題．

解答：解：（1）以O為圓心，CD所在直線為軸建立平面直角坐標系
若AC+AD=2a＜2

3

，即0＜a＜

3

，動點A所在的曲線不存在；
若AC+AD=2a=2

3

，即a=

3

，動點A所在的曲線方程為y=0(-

3

≤x≤

3

)；
若AC+AD=2a＞2

3

，即a＞

3

，動點A所在的曲線方程為

x2

a2

+

y2

a2-3

=1（4分）
（2）當a=2時，其曲線方程為橢圓

x2

4

+y2=1
由條件知A，B兩點均在橢圓

x2

4

+y2=1上，且OA⊥OB
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），OA的斜率為k（k≠0），
則OA的方程為y=kx，OB的方程為y=-

1

k

x，解方程組

y=kx x2 4 +y2=1

，得

x

2 1

=

4

1+4k2

，

y

2 1

=

4k2

1+4k2

同理可求得

x

2 2

=

4k2

k2+4

，

y

2 2

=

4

k2+4

，
△AOB面積S=

1

2

1+k2

|x1|

1+ 1 k2

|x2|=2

(1+k2)2 (1+4k2)(k2+4)

（8分）
令1+k²=t（t＞1）則S=2

t2 4t2+9t-9

=2

1 - 9 t2 + 9 t +4

令g(t)=-

9

t2

+

9

t

+4=-9(

1

t

-

1

2

)2+

25

4

(t＞1)所以4＜g(t)≤

25

4

，即

4

5

≤S＜1
當k=0時，可求得S=1，故

4

5

≤S≤1，故S的最小值為

4

5

，最大值為1（12分）

點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、基本不等式、橢圓方程等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長（即應用弦長公式）．屬于中檔題．