Question

【題目】如圖，在幾何體A1B1D1﹣ABCD中，四邊形A1B1BA與A1D1DA均為直角梯形，且AA1⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AB=2A1D1=2A1B1=4，AA1=4，P為DD1的中點．
（Ⅰ）求證：AB1⊥PC；
（Ⅱ）求幾何體A1B1D1﹣ABCD的表面積．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵幾何體A1B1D1﹣ABCD中，四邊形A1B1BA與A1D1DA均為直角梯形，且AA1⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，
∴以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標系，
∵AB=2A1D1=2A1B1=4，AA1=4，P為DD1的中點．
∴A（0，0，0），B1（2，0，4），
C（4，4，0），D（0，4，0），D1（0，2，4），P（0，3，2），
=（2，0，4）， =（4，1，﹣2），
=8+0﹣8=0，
∴AB1⊥PC．
（Ⅱ） =（4，0，0）， =（0，﹣1，2），| |= ，DC⊥DP，
| |=| |= =6，| |= =2 ，| |= ，
C到直線DD1的距離d=| | =4
幾何體A1B1D1﹣ABCD的表面積：
+ + +
= + + + +
=42+6 +2 ．
【解析】（Ⅰ）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明AB1⊥PC．（Ⅱ）幾何體A1B1D1﹣ABCD的表面積： + + + ．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．