Question

如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，將△AED，△CDF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于A′．

（1）求證：A′D⊥EF；
（2）求二面角A′-EF-D的正切值．

Answer 1

分析：（1）欲證A′D⊥EF，先證A′D⊥面A′EF，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證A′D與面A′EF內兩相交直線垂直，而A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，滿足定理條件；
（2）取EF的中點G，連A′G，DG，根據二面角平面角的定義可知∠A′GD為二面角A′-EF-D的平面角，在Rt△A′GD中求出此角的正切值即可．

解答：解：（1）證明：∵AD⊥AE，DC⊥CF
∴A′D⊥A′E，A′D⊥A′F∴A′D⊥面A′EF，而EF?面A′EF
∴A′D⊥EF
（2）解：取EF的中點G，連A′G，DG，如圖
∵AE=CF，
∴A′E=A′F，
∴GA′⊥EF又由（1）知A′D⊥EF，
∴EF⊥面A′GD，EF⊥GD
∴∠A′GD為二面角A′-EF-D的平面角
在△A′EF中，A′E=A′F=1，EF=

2

∴∠EA′F=90°，
∴A′G=

1

2

EF=

2

2

又A′D=AD=2在Rt△A′GD中，
tan∠A′GD=

A′D

A′G

=2

2

即二面角A′-EF-D的正切值為2

2

．

點評：本題主要考查了二面角及其度量，以及空間中直線與直線之間的位置關系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．