Question

如圖，在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，動圓Q的半徑為1，圓心在線段CD（含端點）上運動，P是圓Q上及內部的動點，設向量

AP

=m

AB

+n

AF

（m，n為實數），則m+n的取值范圍是（　　）

• A、（1，2]
• B、[5，6]
• C、[2，5]
• D、[3，5]

Answer 1

分析：如圖所示，設點O為正六邊形的中心，則

AO

=

AB

+

AF

，當動圓Q的圓心經過點C時，與邊BC交于點P，點P為邊BC的中點．連接OP，可知

AP

=

AO

+

OP

，利用共線定理可得：存在實數t，使得

OP

=t

FB

．于是

AP

=

AO

+t

FB

=(1+t)

AB

+(1-t)

AF

，此時m+n=2，取得最小值．當動圓Q的圓心經過點D時，取AD的延長線與⊙Q的交點P時．

AP

=

5

2

AO

=

5

2

(

AB

+

AF

)=

5

2

AB

+

5

2

AF

，此時m+n=5取得最大值．

解答：解：如圖所示，
①設點O為正六邊形的中心，則

AO

=

AB

+

AF

．
當動圓Q的圓心經過點C時，與邊BC交于點P，點P為邊BC的中點．連接OP，
則

AP

=

AO

+

OP

，
∵

OP

與

FB

共線，∴存在實數t，使得

OP

=t

FB

．
∴

AP

=

AO

+t

FB

=

AB

+

AF

+t(

AB

-

AF

)=(1+t)

AB

+(1-t)

AF

，
此時m+n=1+t+1-t=2，取得最小值．
②當動圓Q的圓心經過點D時，取AD的延長線與⊙Q的交點P時．

AP

=

5

2

AO

=

5

2

(

AB

+

AF

)=

5

2

AB

+

5

2

AF

，
此時m+n=

5

2

+

5

2

=5取得最大值．
因此m+n的取值范圍是[2，5]．
故選：C．

點評：本題考查了向量的平行四邊形法則、向量的運算、平面向量的基本定理、正六邊形的性質等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．