Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）求的單調區間；

（Ⅱ）若，令，若，是的兩個極值點，且，求正實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）t .

【解析】

（I）求出導函數，按的正負分類，討論的符號得單調區間；

（II）求出，當時，，單調遞減，無極值點，當時，可由求根公式求出的兩根，可確定為極小值點，為極大值點.同時確定出的范圍是，計算，令，，仍然用導數來研究的單調性，得出時的范圍，也即能得出的范圍.

（Ⅰ）由， ，則，

當時，則，故在上單調遞減；

當時，令，所以在上單調遞減，在上單調遞增.

綜上所述：當時，在上單調遞減；

當時，在上單調遞減，在上單調遞增.

（Ⅱ），

故，當時，恒成立，故在上單調遞減，不滿足有兩個極值點，故.

令，得，

又有兩個極值點；故有兩個根.

故且或；

且為極小值點，為極大值點.

故

令，由或得

令，

當時，，則在上單調遞增，故，則時成立；

當時，，則在上單調遞增，故，則時；

綜上所述： .