Question

【題目】設函數，其中，且.

（1）求值；

（2）若，為自然對數的底數，求證：當時，；

（3）若函數為上的單調函數，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）依題意.……………2分

（2）記，則，

設,則當時,因此函數在上是單調增函數，且，

所以由零點存在定理知，在上存在唯一的零點,……………5分

令得，

列表：

	↘	極小值	↗

所以，故……………8分

（3）依題意，，記.

當時，

①若為上的單調增函數，則，即在上恒成立

因為為上的單調增函數

所以，從而，舍去. ……………10分

②若為上的單調減函數，則，即在上恒成立

因為，

所以在上不恒成立，舍去. ……………12分

當時，

①若為上的單調增函數，則，即在上恒成立

由得，

列表：

	+	0	-
	↗	極大值	↘

所以

所以，即，故……………14分

②若為上的單調減函數，則，即在上恒成立

由①知，當時，；當，

所以，不成立，舍去

綜上，……………16分

備注：由函數圖象能得出若單調必遞增（因為圖象交點左側y小于0，右側y大于0），可減少對的討論.