Question

（2012•黃浦區二模）已知函數f(x)=2

3

sinx•cosx+cos2x-1(x∈R)．
（1）求函數y=f（x）的單調遞增區間；
（2）若x∈[-

5π

12

，

π

3

]，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和差的正弦公式化簡函數f（x）的解析式為f(x)=2sin(2x+

π

6

)-1，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z求得x的范圍，即可求得函數y=f（x）的單調增區間
（2）根據x∈[-

5π

12

，

π

3

]，求出-

2π

3

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，結合圖象得到-1≤sin(2x+

π

6

)≤1，從而求得函數f（x）的取值范圍．

解答：解（1）∵f(x)=2

3

sinx•cosx+cos2x-1，
∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)-1．（2分）
解2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
∴函數y=f（x）的單調增區間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．   　　　　　　 （6分）
（2）∵x∈[-

5π

12

，

π

3

]，
∴-

2π

3

≤2x+

π

6

≤

5π

6

．          （7分）
考察函數y=sinx，易知，-1≤sin(2x+

π

6

)≤1，（8分）
∴-3≤2sin(2x+

π

6

)-1≤1，
∴函數f（x）的取值范圍是[-3，1]．

點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式的應用，正弦函數的單調性、正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．