Question

【題目】已知圓

（Ⅰ）過點的直線被圓截得的弦長為8，求直線的方程；

（Ⅱ）當取何值時，直線與圓相交的弦長最短，并求出最短弦長．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）直線方程為或（Ⅱ）時，弦長最短為

【解析】

（Ⅰ）求出圓的圓心以及半徑，利用垂徑定理求出圓心到直線的距離，分別討論直線斜率存在與不存在的情況，利用點到直線的距離公式，即可求得直線方程。

（Ⅱ）求出直線過定點,當時，弦長最短，從而得到答案。

由題可得圓的圓心，半徑

（Ⅰ）設點到直線距離為，圓的弦長公式，得，解得，

①當斜率不存在時，直線方程為，滿足題意

②當斜率存在時，設直線方程為，則，解得，

所以直線的方程為，

綜上，直線方程為或

（Ⅱ）由直線，可化為，可得直線過定點,

當時，弦長最短，又由，可得，

此時最短弦長為．