Question

（2013•閔行區二模）已知函數f(x)=x|x-a|-

1

4

，x∈R．
（1）當a=1時，指出f（x）的單調遞減區間和奇偶性（不需說明理由）；
（2）當a=1時，求函數y=f（2^x）的零點；
（3）若對任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=1時，利用分段函數的圖象得出函數的單調遞減區間和函數f（x）既不是奇函數也不是偶函數；
（2）當a=1時，f(x)=x|x-1|-

1

4

，欲求函數y=f（2^x）的零點，即求對應方程的根．由f（2^x）=0解得x的值即可；
（3）當x=0時，a取任意實數，不等式f（x）＜0恒成立，故只需考慮x∈（0，1]，此時原不等式變為|x-a|＜

1

4x

，即x-

1

4x

＜a＜x+

1

4x

．再構造函數，研究其最值即可得出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=1時，函數的單調遞減區間為[

1

2

，1]…（2分）
函數f（x）既不是奇函數也不是偶函數．        …（2分）
（2）當a=1時，f(x)=x|x-1|-

1

4

，
由f（2^x）=0得2x|2x-1|-

1

4

=0…（2分）
即

2x≥1 (2x)2-2x- 1 4 =0

或

2x＜1 (2x)2-2x+ 1 4 =0

…（2分）
解得2x=

1+ 2

2

或2x=

1- 2

2

(舍)，或2x=

1

2

所以x=log2

1+ 2

2

=log2(1+

2

)-1或x=-1．    …（2分）
（3）當x=0時，a取任意實數，不等式f（x）＜0恒成立，
故只需考慮x∈（0，1]，此時原不等式變為|x-a|＜

1

4x

即x-

1

4x

＜a＜x+

1

4x

…（2分）
故(x-

1

4x

)max＜a＜(x+

1

4x

)min，x∈(0，1]
又函數g(x)=x-

1

4x

在（0，1]上單調遞增，∴(x-

1

4x

)max=g(1)=

3

4

…（2分）
函數h(x)=x+

1

4x

在(0，

1

2

]上單調遞減，在[

1

2

，1]上單調遞增，
∴(x+

1

4x

)min=h(

1

2

)=1；
所以

3

4

＜a＜1，即實數a的取值范圍是(

3

4

，1)．…（2分）

點評：本題以分段函數為載體，考查函數的奇偶性單調性、恒成立等問題，解題的關鍵是等價轉化，構造新函數．