Question

【題目】設數列的前n項和為，已知，（）．

（1）求證：數列為等比數列；

（2）若數列滿足：，．

① 求數列的通項公式；

② 是否存在正整數n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）數列為等比數列，首項為1，公比為2．（2），

【解析】

（1）由題設的遞推關系式，得到（），即可證得數列為等比數列．

（2）① 由（1）知，，化簡得，則數列是首項為1，公差為1的等差數列，即可求得．

②利用乘公比錯位相減法，求得，進而得到，顯然當 時，上式成立，設，由，所以數列單調遞減，進而得到結論.

（1）解：由，得（），

兩式相減，得，即（）．

因為，由，得，所以，

所以對任意都成立，

所以數列為等比數列，首項為1，公比為2．

（2）① 由（1）知，，

由，得，

即，即，

因為，所以數列是首項為1，公差為1的等差數列．

所以，

所以．

② 設，

則，

所以，

兩式相減，

得 ，

所以．

由，得，即．

顯然當時，上式成立，

設（），即．

因為，

所以數列單調遞減，

所以只有唯一解，

所以存在唯一正整數，使得成立．