Question

求證：若圓內(nèi)接四邊形的兩條對角線互相垂直，則從對角線交點到一邊中點的線段長等于圓心到該邊對邊的距離．

Answer 1

分析：以兩條對角線的交點為原點O、對角線所在直線為坐標軸建立直角坐標系，設出A（-a，0），B（0，-b），C（c，0），D（0，d），求得CD的中點E和AB的中點H的坐標．
由圓的性質(zhì)求得圓心G的坐標，求得|OE|²=|GH|²=

c2+d2

4

，可得|OE|=|GH|，命題得證．

解答：解：以兩條對角線的交點為原點O、對角線所在直線為坐標軸建立直角坐標系，（如圖所示） 
設A（-a，0），B（0，-b），C（c，0），D（0，d），則CD的中點E（

c

2

，

d

2

），AB的中點H（-

a

2

，-

b

2

）．
又圓心G到四個頂點的距離相等，故圓心G的橫坐標等于AC中點的橫坐標，等于

c-a

2

，
圓心G的縱坐標等于BD中點的縱坐標，等于

d-b

2

．
即圓心G（

c-a

2

，

d-b

2

），∴|OE|²=

c2+d2

4

，
|GH|²=(

c-a

2

+

a

2

)2+(

d-b

2

+

b

2

)2=

c2+d2

4

，∴|OE|=|GH|，故要證的結(jié)論成立．

點評：本題主要考查用坐標法證明幾何問題，線段的中點公式、兩點間的距離公式的應用，屬于中檔題．