Question

【題目】對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]，同時(shí)滿足下列條件：
1）f（x）在[m，n]上是單調(diào)的；
2）當(dāng)定義域是[m，n]時(shí)，f（x）的值域也是[m，n]，則稱[m，n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．若函數(shù)f（x）= ﹣ （a＞0）存在“和諧區(qū)間”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】0＜a＜1
【解析】解：由題意可得函數(shù) 在區(qū)間[m，n]是單調(diào)遞增的，
∴[m，n]（﹣∞，0）或[m，n]（0，+∞），則f（m）=m，f（n）=n，
故m、n是方程f（x）=x的兩個(gè)同號(hào)的不等實(shí)數(shù)根，
即 ，
即方程ax2﹣（a+1）x+a=0有兩個(gè)同號(hào)的實(shí)數(shù)根，
∵mn= ，
故只需△=（a+1）2﹣4a2＞0，解得 ＜a＜1，
∵a＞0，
∴0＜a＜1．
所以答案是：0＜a＜1．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用函數(shù)的值域和函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的；單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較即可以解答此題．