Question

【題目】設(shè)函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，

①求實(shí)數(shù)的范圍；

②證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明詳見解析．

【解析】

試題本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問，將代入，對(duì)求導(dǎo)，切點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，斜率為，利用點(diǎn)斜式寫出切線方程；第二問，對(duì)求導(dǎo)，令，將函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不同的正根，利用二次函數(shù)的圖象分析列出不等式，解出a的取值范圍；對(duì)求導(dǎo)，求出的根，得到的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，即證明了結(jié)論．

試題解析：（1）當(dāng)a＝2時(shí)，，，

則，，所以切線方程為．4分

（2）（），令，得，

①函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)不同的正根，

設(shè)，所以，

所以函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則，

②由，得，則，，，

在區(qū)間上遞減，，

所以