Question

（2010•棗莊模擬）對于函數f(x)=cos(

π

2

+x)sin(

3π

2

+x)，給出下列四個結論：①函數f（x）的最小正周期為π；②若f（x₁）=-f（x₂）則x₁=-x₂；③f（x）的圖象關于直線x=-

π

4

對稱；④f(x)在[

π

4

，

3π

4

]上是減函數，其中正確結論的個數為（　　）

A．2

B．4

C．1

D．3

Answer 1

分析：根據題意把函數解析式利用誘導公式及二倍角的正弦函數公式化簡為f（x）=

1

2

sin2x，①根據周期公式可得函數周期為π；②可以舉例判斷其實錯誤的；③求出函數的所有對稱軸可驗證得③正確；④求出函數的所有單調減區間可得到④正確，進而得到正確結論的個數．

解答：解：根據題意得：函數f(x)=cos(

π

2

+x)sin(

3π

2

+x)=（-sinα）•（-cosα）=sinαcosα=

1

2

sin2α，
①根據周期公式可得：f（x）=

1

2

sin2x的周期為π．所以①正確；
②f（

π

6

）=-f（

2π

3

），但是不滿足x₁=-x₂，所以②錯誤；
③f（x）=

1

2

sin2x的所有對稱軸為x=

kπ

2

+

π

4

，顯然③正確；
④f（x）=

1

2

sin2x的單調減區間為[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]，（k∈Z），顯然④正確，
則其中正確結論的個數為3．
故選D

點評：此題考查了正弦函數的單調性及對稱性，解決此類問題的關鍵是靈活利用誘導公式二倍角公式把函數解析式化為一個角的正弦函數，同時要求學生掌握三角函數的有關性質（單調性，周期性，奇偶性，對稱性等）．