Question

【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù)，，當時，，則不等式的解集為_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

由題意構造函數(shù)g（x）＝xf（x）求出g′（x），根據(jù)條件判斷出g（x）的單調(diào)性和奇偶性，由f（2）＝0得g（2）＝0，結合g（x）單調(diào)性判斷出各個區(qū)間上的符號，從而可得到f（x）在各個區(qū)間上的符號，即可求出不等式f（x）＜0的解集．

設g（x）＝xf（x），則g′（x）＝xf′（x）+f（x），

∵當x<0時，有xf′（x）+f（x）>0，則g′（x）>0，

∴g（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，

∵函數(shù)f（x）是R上奇函數(shù)，∴函數(shù)g（x）是R上的偶函數(shù)，

則g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，

又f（2）＝0，則g（2）＝0，

∴在（0，2）內(nèi)恒有g（x）＞0；在（2，+∞）內(nèi)恒有g（x）＜0，

在（﹣∞，﹣2）內(nèi)恒有g（x）＜0；在（﹣2，0）內(nèi)恒有g（x）＞0，

∴在（0，2）內(nèi)恒有f（x）＞0；在（2，+∞）內(nèi)恒有f（x）＜0，

在（﹣∞，﹣2）內(nèi)恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）內(nèi)恒有f（x）＜0，

∴不等式f（x）＜0的解集是（﹣2，0）∪（2，+∞），

故答案為．