Question

某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為立方米，且．假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為千元，設(shè)該容器的建造費(fèi)用為千元．

（1）寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；
（2）求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的．

Answer 1

（I）
（II）當(dāng)時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)；當(dāng)時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)

解析試題分析：（I）設(shè)容器的容積為，由題意知，又，
故，由于，因此
所以建造費(fèi)用

（II）由（I）得
由于，所以，令，得
（1）當(dāng)即時(shí)，
所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)．
（2）當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以是函數(shù)的最小值點(diǎn)，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)；當(dāng)時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)
考點(diǎn)：本題主要考查函數(shù)模型，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性及極值。
點(diǎn)評(píng)：典型題，這是山東考題，意在考查函數(shù)的應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。從解題方法看，確定好函數(shù)解析式，主要運(yùn)用幾何體體積公式，而求最值，主要運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，由于要進(jìn)行分類討論，所以，不少考生在此失分。