Question

（本題滿分10分）設命題p：實數x滿足x²－4ax＋3a²<0，其中a>0，

命題q：實數x滿足

(1)若a＝1，且p∧q為真，求實數x的取值范圍；

(2)非p是非q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

 

(1)(2,3)．(2)實數a的取值范圍是(1,2]．

【解析】本試題主要是考查了命題的真值，以及復合命題的真值判定，和充分條件和必要條件的判定的綜合運用。

（1）先分別分析各個命題的真值為真的x的范圍，然后利用交集為真，說明都是成立的x的范圍可得。

（2）非p是非q的充分不必要條件利用等價命題可知q是p的充分不必要條件

說明前者的集合小于后者的集合，利用集合的包含關系解得。

解：(1)由x²－4ax＋3a²<0得

(x－3a)(x－a)<0.

又a>0，所以a<x<3a,

當a＝1時，1<x<3，

即p為真命題時，實數x的取值范圍是1<x<3.

由

解得即2<x≤3.

所以q為真時實數x的取值范圍是2<x≤3.

若p∧q為真，則⇔2<x<3，

所以實數x的取值范圍是(2,3)．

(2)非p是非q的充分不必要條件，

即非p⇒非p且非q非q.

設A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}，

則A B.

所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2.

所以實數a的取值范圍是(1,2]．