【題目】已知函數(shù)
，
.
（1）設(shè)函數(shù)
，討論
的單調(diào)性；
（2）設(shè)函數(shù)
，若
的圖象與
的圖象有
，
兩個不同的交點，證明：
.
【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析
【解析】
（1）求出
的表達式并求導(dǎo)，分類討論的單調(diào)性；（2）由題意可得
有兩個不同的根，則
①，
②， 消去參數(shù)
得
，構(gòu)造函數(shù)
求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性并利用放縮法推出
，再次構(gòu)造函數(shù)
，通過證明
來證明
.
（1）
，定義域為
，
.
當(dāng)
時，在
上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減.
當(dāng)
時，令
，得
，所以在
，上單調(diào)遞增；
令
，得
，所以在
上單調(diào)遞減.
當(dāng)
時，
，在
上單調(diào)遞增.
當(dāng)
時，令，得
，所以在，
上單調(diào)遞增；
令，得
，所以在
上單調(diào)遞減.
（2）
，
因為函數(shù)
的圖象與
的圖象有兩個不同的交點，
所以關(guān)于
的方程
，即有兩個不同的根.
由題知①，②，
①+②得
③，
②-①得
④.
由③，④得，不妨設(shè)
，記
.
令，則
，
所以
在
上單調(diào)遞增，所以
，
則
，即
，所以
.
因為
所以
，即.
令，則
在上單調(diào)遞增.
又
，所以
，
即，所以
.
兩邊同時取對數(shù)可得，得證.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在
中，
，點
為
的中點，點
為線段垂直平分線上的一點，且
，固定邊，在平面
內(nèi)移動頂點
，使得的內(nèi)切圓始終與切于線段
的中點，且、在直線的同側(cè)，在移動過程中，當(dāng)
取得最小值時，的面積為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在直角坐標(biāo)系
中，曲線
的參數(shù)方程
(
為參數(shù))，直線
的參數(shù)方程
(
為參數(shù)).
（1）求曲線在直角坐標(biāo)系中的普通方程；
（2）以坐標(biāo)原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，當(dāng)曲線截直線所得線段的中點極坐標(biāo)為
時，求直線的傾斜角.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】定義：若函數(shù)
在區(qū)間
上的值域為，則稱區(qū)間是函數(shù)的“完美區(qū)間”，另外，定義區(qū)間的“復(fù)區(qū)間長度”為
，已知函數(shù)
，則（ ）
A.
是
的一個“完美區(qū)間”
B.
是的一個“完美區(qū)間”
C.的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長度”的和為
D.的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長度”的和為
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】定義：若函數(shù)
在區(qū)間
上的值域為，則稱區(qū)間是函數(shù)的“完美區(qū)間”，另外，定義區(qū)間的“復(fù)區(qū)間長度”為
，已知函數(shù)
，則（ ）
A.
是
的一個“完美區(qū)間”
B.
是的一個“完美區(qū)間”
C.的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長度”的和為
D.的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長度”的和為
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，橢圓
：
的左、右焦點分別為
，
軸，直線
交
軸于
點，
，
為橢圓上的動點，
的面積的最大值為1.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點
作兩條直線與橢圓分別交于
且使
軸，如圖，問四邊形
的兩條對角線的交點是否為定點？若是，求出定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某校倡導(dǎo)為特困學(xué)生募捐，要求在自動購水機處每購買一瓶礦泉水，便自覺向捐款箱中至少投入一元錢．現(xiàn)統(tǒng)計了連續(xù)5天的售出礦泉水箱數(shù)和收入情況，列表如下：
售出水量 | 7 | 6 | 6 | 5 | 6 |
收入 | 165 | 142 | 148 | 125 | 150 |
學(xué)校計劃將捐款以獎學(xué)金的形式獎勵給品學(xué)兼優(yōu)的特困生，規(guī)定：特困生綜合考核前20名，獲一等獎學(xué)金500元；綜合考核21-50名，獲二等獎學(xué)金300元；綜合考核50名以后的不獲得獎學(xué)金．
（1）若
與
成線性相關(guān)，則某天售出9箱水時，預(yù)計收入為多少元？
（2）假設(shè)甲、乙、丙三名學(xué)生均獲獎，且各自獲一等獎和二等獎的可能性相同，求三人獲得獎學(xué)金之和不超過1000元的概率．
附：回歸方程
，其中
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，a∈R.
（1）若函數(shù)f（x）在x＝1處的切線為y＝2x+b，求a，b的值；
（2）記g（x）＝f（x）+ax，若函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，
）上有最小值，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a＝0時，關(guān)于x的方程f（x）＝bx2有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標(biāo)系
中，直線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，
軸的非負半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線
的極坐標(biāo)方程為
．
（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點
，直線與曲線相交于兩點
，
，求
的值．
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