Question

【題目】如圖，在中，，點為的中點，點為線段垂直平分線上的一點，且，固定邊，在平面內移動頂點，使得的內切圓始終與切于線段的中點，且、在直線的同側，在移動過程中，當取得最小值時，的面積為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

以所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，利用圓的切線長定理，得到點的軌跡是以、為焦點的雙曲線在第一象限部分，然后利用直線段最短，得到點C的位置，再求三角形的面積.

如圖，

以所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，

則，，，設的內切圓分別切、、于，，點，

∵，

所以點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的第一象限部分，且，，，

∴的軌跡方程為．

∵，∴，∴，

則當點為線段與雙曲線在第一象限的交點時，最小，

如圖所示：

線段的方程為，將其代入，得，

解得（舍去）或，∴，

∴．

∴的面積為．

故選：A