Question

已知函數f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2lnx(a∈R).

（1）若曲線y＝f(x)在x＝1和x＝3處的切線互相平行，求a的值；

（2）當a≤0時，求f(x)的單調區間。

 

Answer 1

（1）；（2）當a≤0時，f(x)在(0，2)上單調遞增，在(2，＋∞)上單調遞增.

【解析】

試題分析：（1）因為f（x）=ax2－(2a＋1)x＋2lnx，所以f′(x)＝ax?(2a+1)+．因為曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，所以f′（1）=f′（3）．由此能求出實數a．

（2）因為函數f（x）的定義域是（0，+∞），且f′（x）=，再由實數a的取值范圍進行分類討論，能夠求出f（x）的單調區間．

試題解析：函數f(x)的定義域為(0，＋∞)

∵f ' (x)＝ax－(2a＋1)＋

（1）由已知函數f ' (1)＝f ' (3)a－(2a＋1)＋2＝3a－(2a＋1)＋a＝ 6分

（2）f ' (x)＝＝(x∈(0，＋∞)) 8分

①當a＝0時，f ' (x)＝，由f ' (x)＞0得0＜x＜2，由f ' (x)＜0得x＞2

∴f(x)在(0，2)上單調遞增，在(2，＋∞)上單調遞減 10分

②當a＜0時，由f ' (x)＝＝0的x1＝(舍去)，x2＝2，由f ' (x)＞0的0＜x＜2，由f ' (x)＜0的x＞2

∴f(x)在(0，2)上單調遞增，在(2，＋∞)上單調遞減 12分

綜上：當a≤0時，f(x)在(0，2)上單調遞增，在(2，＋∞)上單調遞增 13分

考點：