Question

（2012•葫蘆島模擬）根據遼寧省期初教育工作會議精神，我省所有中小學全部取消晚自習，某校高二年級共有學生1000名，其中走讀生750名，住宿生250名，現從該年級采用分層抽樣的方法從該年級抽取n名學生進行問卷調查．根據問卷取得了這n名同學每天晚上有效學習時間（單位：分鐘）的數據，按照以下區間分為八組
①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240），
得到頻率分布直方圖如下．已知抽取的學生中每天晚上有效學習時間少于60分鐘的人數為5人；
（1）求n的值并補全下列頻率分布直方圖；
（2）如果把“學生晚上有效時間達到兩小時”作為是否充分利用時間的標準，對抽取的n名學生，完成下列2×2列聯表：

	利用時間充分	利用時間不充分	總計
走讀生	50	25	75
住宿生	10	15	25
總計	60	40	100

是否有95%的把握認為學生利用時間是否充分與走讀、住宿有關？
（3）若在第①組、第②組、第⑦組、第⑧組中共抽出3人調查影響有效利用時間的原因，記抽到“有效學習時間少于60分鐘”的學生人數為X，求X的分布列及期望；
參考公式：K²=

n(n11n22-n12n21)2

(n22+n21)(n11+n12)(n11+n21)(n12+n21)

．

Answer 1

分析：（1）設第i組的頻率為P_i（i=1，2，…，8），則由圖能夠求出n的值并能補全頻率分布直方圖．
（2）利用題設條件，先求出2×2列聯表，再求出K²，并把K²與3.841進行比較，從而得到有95%的把握認為學生利用時間是否充分與走讀、住宿有關．
（3）由（1）知：第①組1人，第②組4人，第⑦組15人，第⑧組10人，總計20人．則X的所有可能取值為0，1，2，3，P（X=i）=

C i 5 C 3-i 15

C 3 20

（i=0，1，2，3），由此能求出X的分布列和EX．

解答：解：（1）設第i組的頻率為P_i（i=1，2，…，8），則由圖可知：P₁=

1

3000

×30=

1

100

，P₂=

1

750

×30=

4

100

∴學習時間少于60鐘的頻率為：P₁+P₂=

5

100

  由題意：n×

5

100

=5∴n=100
又P₃=

1

300

×30=

10

100

，P₅=

1

100

×30=

30

100

，P₆=

1

200

×30=

15

100

，P₇=

1

300

×30=

10

100

，P₈=

1

600

×30=

5

100

，
∴P₄=1-（P₁+P₂+P₃+P₅+P₆+P₇+P₈）=1-

1+4+10+30+15+10+5

100

=1-

75

100

=

25

100

第④組的高度h=

25

100

×

1

30

=

25

3000

=

1

120

頻率分布直方圖如圖：（未標明高度1/120扣1分）（4分）
（2）2×2列聯表如下：

	利用時間充分	利用時間不充分	總計
走讀生	50	25	75
住宿生	10	15	25
總計	60	40	100

K²=

100×(50×15-25×10)2

75×25×40×60

≈5.556
由于K²＞3.841，
所以有95%的把握認為學生利用時間是否充分與走讀、住宿有關…（8分）
（3）由（1）知：第①組1人，第②組4人，第⑦組10人，第⑧組5人，總計20人．
則X的所有可能取值為0，1，2，3
P（X=i）=

C i 5 C 3-i 15

C 3 20

（i=0，1，2，3）
∴P（X=0）=

C 0 5 C 3 15

C 3 20

=

455

1140

=

91

228

，
P（X=1）=

C 1 5 C 2 15

C 3 20

=

525

1140

=

105

228

=

35

76

，
P（X=2）=

C 2 5 C 1 15

C 3 20

=

150

1140

=

30

228

=

5

38

，
P（X=3）=

C 3 5 C 0 15

C 3 20

=

10

1140

=

2

228

=

1

114

∴X的分布列為：

P	0	1	2	3
X	91 228	35 76	5 38	1 114

EX=0×

91

228

+1×

105

228

+2×

30

228

+3×

2

228

=

1×105+2×30+3×2

228

=

171

228

=

3

4

．

點評：本題考查離散型隨機變量的概率分布列和數學期望，解題時要認真審題，仔細解答，注意頻率分布直方圖和概率知識的靈活運用．