Question

已知函數f(x)＝－aln x＋＋x(a≠0)，
(1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與直線x－2y＝0垂直，求實數a的值；
(2)討論函數f(x)的單調性．

Answer 1

（1）a＝－（2）當a<0時，函數f(x)在(0，－a)上單調遞減，在(－a，＋∞)上單調遞增

由已知得，f(x)的定義域為{x|x>0}，f′(x)＝－－＋1(x>0)．
(1)根據題意，有f′(1)＝－2，∴－a－2a²＋1＝－2，即2a²＋a－3＝0.解得a＝1，或a＝－.
(2)∵f′(x)＝－－＋1＝ (x>0)．
①當a>0時，由f′(x)>0，及x>0得x>2a；
由f′(x)<0，及x>0得0<x<2a.
∴當a>0時，函數f(x)在(2a，＋∞)上單調遞增，
在(0,2a)上單調遞減．
②當a<0時，由f′(x)>0，及x>0得x>－a；
由f′(x)<0，及x>0得0<x<－a.
∴當a<0時，函數f(x)在(0，－a)上單調遞減，
在(－a，＋∞)上單調遞增．