Question

已知函數
（1）若函數存在極大值和極小值，求的取值范圍；
（2）設分別為的極大值和極小值，其中且求的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）因為函數，所以要求函數存在極大值和極小值即對函數的求導，要保證導函數的對應的方程有兩個不相等的正實根.所以通過判別式大于零和韋達定理中根與系數的關系即可得到結論.
（2）根據極大值與極小值的含義得到兩個相應的方程，又由兩個極值點的關系，將其中一個消去，由兩個極值相加可得關于關于極大值點的等式從而通過基本不等式求最值即可.
試題解析：（1）其中
由題設知且關于的方程有兩個不相等的正數根，
記為滿足化簡得
經檢驗滿足題設，故為所求.
（2）方法一：由題設結合知，
且
所以
 ，
因為，所以在區間是減函數，
所以設且，
所以在區間上是減函數，
所以
因此
方法二：由題設結合知
且
所以
，
設，，
所以在區間上是增函數，
而，設，則在時是增函數，
所以當時，，即，
所以且
因此
方法三：由方法一知
設，則

所以在區間上是增函數，而
所以
方法四：前同方法二知，
當時，關于的方程有兩個不相等的正數根
那么即解得，
下同方法二.