Question

已知函數f（x）=x³+ax²+b（a，b∈R）
（1）若函數f（x）在x=0，x=2處取得極值，且極小值為-2，求a，b的值．
（2）若x∈[0，1]，函數f（x）在圖象上任意一點的切線的斜率為k，求k≤1恒成立時a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過求函數的導數，函數f（x）在x=0，x=2處取得極值，就是x=0，x=2時導數為0，求出a，利用極小值為-2，求出b；
（2）由（1）可得f（x）的解析式．x∈[0，1]，函數f（x）圖象上的任意一點的切線斜率為k，k≤1恒成立，就是導函數的值域≤1恒成立，再用二次函數根與系數的關系，求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）由f'（x）=3x²+2ax得x=0或x=-

2a

3

∴-

2a

3

=2得a=-3．…（3分）
當0＜x＜2時，f'（x）＜0，當x＞2時f'（x）＞0
故當x=2時f（x）取得極小值，f（2）=8+4a+b=-2
所以b=2…（6分）
（2）當x∈[0，1]，k=f'（x）=3x²+2ax≤1恒成立，
即令g（x）=3x²+2ax-1≤0對一切x∈[0，1]恒成立，…（9分）
只需

g(0)=-1≤0 g(1)=2+2a≤0

即a≤-1
所以a的取值范圍為（-∞，-1]．…（12分）

點評：本題主要考查函數、導數的基本知識以及不等式的恒成立問題，同時考查學生的邏輯推理能力和靈活應用知識的能力．