Question

請考生在第（1），（2），（3）題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．
（1）選修4-1：幾何證明選講
如圖，在△ABC中，D是AC的中點，E是BD的中點，AE的延長線交BC于F．
（Ⅰ）求

BF

FC

的值；
（Ⅱ）若△BEF的面積為S₁，四邊形CDEF的面積為S₂，求S₁：S₂的值．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
以直角坐標系的原點O為極點，a=

π

6

軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的單位長度．已知直線l經過點P（1，1），傾斜角a=

π

6

．
（ I）寫出直線l的參數方程；
（ II）設l與圓ρ=2相交于兩點A、B，求點P到A、B兩點的距離之積．
（3）選修4-5：不等式選講
已知函數f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（I）求不等式f（x）≤6的解集；
（II）若關于x的不等式f（x）＞a恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）：（Ⅰ）過D點作DG∥BC，并交AF于G點，再利用△BEF≌△DEG，則BF=DG，得出比例關系：BF：FC=DG：FC，從而得出BF：FC=1：2；
（Ⅱ）先由（1）知BF：BC=1：3，又由BE：BD=1：2可知h₁：h₂=1：2，其中h₁、h₂分別為△BEF和△BDC的高，由此求得面積比．
（2）：（I）根據直線經過的點的坐標及直線的傾斜角，求出直線的參數方程．
（II） 設A，B對應的參數為t₁和t₂，以直線l的參數方程代入圓的方程整理得到 t²+（

3

+1）t-2=0，由|PA|•|PB|=|t₁t₂|求出點P到A、B兩點的距離之積．
（3）：（I）首先要去掉絕對值，因此要進行分類討論：①x＞

3

2

；②-

1

2

≤x≤

3

2

；③x＜-

1

2

，然后再解一元一次不等式進行求解；
（II）對絕對值不等式進行放縮，可得|2x+1|+|2x-3|≥|（2x+1）-（2x-3）|=4，從而求出a的范圍．

解答：證明：（1）、（Ⅰ）過D點作DG∥BC，并交AF于G點，
∵E是BD的中點，∴BE=DE，
      又∵∠EBF=∠EDG，∠BEF=∠DEG，
∴△BEF≌△DEG，則BF=DG，
∴BF：FC=DG：FC，
又∵D是AC的中點，則DG：FC=1：2，
則BF：FC=1：2；
即

BF

FC

=

1

2

（Ⅱ）若△BEF以BF為底，△BDC以BC為底，
則由（1）知BF：BC=1：3，
又由BE：BD=1：2可知h₁：h₂=1：2，其中h₁、h₂分別為△BEF和△BDC的高，
則

S△BEF

S△BDC

=

1

3

×

1

2

=

1

6

，則S₁：S₂=1：5
（2）、（I）直線的參數方程是

x=1+ 3 2 t y=1+ 1 2 t

（t是參數）．
（II）因為點A，B都在直線l上，所以可設它們對應的參數為t1和t2，
圓化為直角坐標系的方程   x²+y²=4，
以直線l的參數方程代入圓的方程整理得到 t²+（

3

+1）t-2=0  ①，
因為t₁和t₂是方程①的解，從而 t₁t₂=-2．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=|-2|=2．
（3）（I）原不等式等價于

x＞ 3 2 (2x+1)+(2x-3)≤6

或

- 1 2 ≤x≤ 3 2 (2x+1)-(2x-3)≤6

或

x＜- 1 2 -(2x+1)-(2x-3)≤6

解得

3

2

＜x≤2或-

1

2

≤x≤

3

2

或-1≤x＜-

1

2

，
即不等式的解集為{x|-1≤x≤2}
（II）∵|2x+1|+|2x-3|≥|（2x+1）-（2x-3）|=4，
∴a＜4．

點評：本題C題考查絕對值不等式的幾何意義，是基礎題；B題：考查的知識點是相交弦定理及相似三角形的性質，其中根據相交弦定理及三角形相似的性質，得到比例式，是解答本題的關鍵；A題考查把極坐標方程和參數方程化為普通方程的方法，點到直線的距離公式的應用，將參數方程化為普通方程是解答關鍵．