Question

設直線kx-y+1=0被圓

x=2cosθ y=2sinθ

(θ為參數）所截弦的中點的軌跡為C，則曲線C與直線x+y-1=0的位置關系為（　　）

A．相交

B．相切

C．相離

D．不確定

Answer 1

分析：圓

x=2cosθ y=2sinθ

(θ為參數）的普通方程為x²+y²=4，設C上任意一點的坐標為A（x，y），由

y-0

x-0

×k=-1，求出k后代入直線kx-y+1=0求得曲線C的方程，由圓心（0，

1

2

）到直線x+y-1=0的距離小于半徑得到曲線C與直線x+y-1=0相交．

解答：解：圓

x=2cosθ y=2sinθ

(θ為參數）的普通方程為x²+y²=4，
弦的中點的軌跡為C，設C上任意一點的坐標為A（ x，y ），則由弦的性質得 OA垂直于直線kx-y+1=0，
∴

y-0

x-0

×k=-1，即 k=

-x

y

．又點A（ x，y ）還在直線kx-y+1=0上，
∴

-x

y

•x-y+1=0，x²+（y-

1

2

）2=

1

4

，
故曲線C表示以（0，

1

2

）為圓心，以

1

2

為半徑的圓．
∵圓心（0，

1

2

）到直線x+y-1=0的距離等于

|0+ 1 2 -1|

2

=

2

4

＜

1

2

（半徑），
故曲線C與直線x+y-1=0相交，
故選A．

點評：本題考查求點的軌跡方程的求法，直線和圓相交的性質，求曲線C的軌跡方程是解題的關鍵．