Question

（2009•上海模擬）已知無窮等比數列{a_n}的前n項和為S_n，各項的和為S，且

lim

n→∞

(Sn-2S)=1，則其首項a₁的取值范圍是（　　）

A．（-1，0）∪（0，1）

B．（-2，-1）∪（-1，0）

C．（0，1）∪（1，2）

D．（-2，0）∪（0，2）

Answer 1

分析：由S=

a1

1-q

，S_n=S•（1-qⁿ），知S_n-2S=-S（1+qⁿ），由

lim

n→∞

(Sn-2S)=1，知-S

lim

n→∞

(1+qn) =1，由此能求出首項a₁的取值范圍．

解答：解：∵S=

a1

1-q

，S_n=S•（1-qⁿ）
∴S_n-2S=-S（1+qⁿ），
∵

lim

n→∞

(Sn-2S)=1，
∴-S

lim

n→∞

(1+qn) =1，
∵無窮等比數列，0＜|q|＜1，

lim

n→∞

qn=0，
∴S=-1，

a1

1-q

=-1，
q=a1+1．
0＜|a₁+1|＜1，
解得-2＜a₁＜0且a₁≠-1．
首項a₁的取值范圍是（-2，-1）∪（（-1，0）．
故選B．

點評：本題考查數列的極限的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意等比數列的前n項和公式的靈活運用．