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已知定義域為[0，1]的函數f(x)同時滿足以下三個條件：

Ⅰ．對任意的x∈[0，1]，總有f(x)≥0；

Ⅱ．f(1)＝1；

Ⅲ．若x₁≥0，x₂≥0，且x₁＋x₂≤1，則有f(x₁＋x₂)≥f(x₁)＋f(x₂)成立．

則稱f(x)為“友誼函數”，請解答下列各題：

(1)若已知f(x)為“友誼函數”，求f(0)的值；

(2)函數g(x)＝2^x－1在區間[0，1]上是否為“友誼函數”？并給出理由．

答案：
解析：

　　解(1)取得，

　　又由，得

　　(2)顯然在上滿足[1]；[2]．

　　若，，且，則有

　　故滿足條件[1]、[2]、[3]，所以為友誼函數．

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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義域為[0，1]的函數f（x）同時滿足：
①對于任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的最大值；
（3）若對于任意x∈[0，1]，總有4f²（x）-4（2-a）f（x）+5-4a≥0成立，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義域為[0，1]的函數f（x）同時滿足以下三個條件：
①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x₁≥0，x₂≥0且x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，并且稱f（x）為“友誼函數”，
請解答下列各題：
（1）若已知f（x）為“友誼函數”，求f（0）的值；
（2）函數g（x）=2^x-1在區間[0，1]上是否為“友誼函數”？并給出理由．
（3）已知f（x）為“友誼函數”，且 0≤x₁＜x₂≤1，求證：f（x₁）≤f（x₂）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義域為[0，1]的函數f（x）同時滿足：
①對于任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x₁≤1，0≤x₂≤1，x₁+x₂≤1，則有f （x₁+x₂）≥f （x₁）+f （x₂）．
（1）試求f（0）的值；
（2）試求函數f（x）的最大值；
（3）試證明：當x∈(

，

2n-1

]，n∈N₊時，f（x）＜2x．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義域為[0，1]的函數同時滿足以下三個條件：①對任意x∈[0，1]，總有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）函數g（x）=2^x-1在區間[0，1]上是否同時適合①②③？并予以證明；
（3）假定存在x₀∈[0，1]，使得f（x₀）∈[0，1]，且f（f（x₀））=x₀，求證：f（x₀）=x₀．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義域為[0，1]的函數f （x）同時滿足：
①對于任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x₁≤1，0≤x₂≤1，x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
（1）試求f（0）的值；
（2）試求函數f （x）的最大值；
（3）試證明：當x∈(

，

]時，f（x）＜2x．

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