Question

已知f(x)=

ax-1

ax+1

(a＞0，且a≠1)．
（Ⅰ）求f（x）的反函數f^-1（x）；
（Ⅱ）若不等式|x-a|≤3的解集為{x|-1≤x≤5}，解關于x的不等式f-1(

1

2x

)＜loga

1+x

1-x

．

Answer 1

分析：（I）從條件中函數式y=f（x）中反解出x，再將x，y互換最后寫出反函數的定義域即得．
（II）先利用題中條件求得a值，再結合反函數的單調性，把原不等式轉化為不含對數符號的不等式后解之即得．

解答：解：（I）由y=

ax-1

ax+1

?ax=

1+y

1-y

?x=loga

1+y

1-y

，
交換x、y得：y=loga

1+x

1-x

，（4分）
又由ax=

1+y

1-y

＞0?y∈(-1，1)，
∴f^-1（x）=loga

1+x

1-x

（-1＜x＜1）；（6分）
（II）由

|-1-a|=3 |5-a|=3

?a=2，（8分）
∵f^-1（x）=log2

1+x

1-x

=log2(-1-

2

x-1

)在定義域（-1，1）內單調遞增，
∴f-1(

1

2x

)＜log2

1+x

1-x

?f-1(

1

2x

)＜f-1(x)?-1＜

1

2x

＜x＜1?

x＜- 1 2 或x＞ 1 2 - 2 2 ＜x＜0或x＞ 2 2 x＜1

?x∈(-

2

2

，-

1

2

)∪(

2

2

，1)．（12分）

點評：本小題主要考查反函數、對數函數的單調性與特殊點、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查轉化思想．屬于基礎題．