Question

已知f(x)=ax-2

4-ax

 -1?(a＞0且a≠1)
（1）求f（x）的定義域；
（2）是否存在實數a使得函數f（x）對于區間（2，+∞）上的一切x都有f（x）≥0？

Answer 1

分析：（1）由題意知函數的自變量要滿足4-a^x＞0，移項后，兩邊取對數，針對于底數與1的關系進行討論，根據指數函數的性質，得到當a取值不同時，對應的自變量不同，分別寫出結果．
（2）根據函數的底數不同，所得到的定義域，求出定義域與所給的自變量的范圍的公共部分，把不等式變形，移項，兩邊平方，整理出最簡形式，根據恒成立思想，得到不存在滿足條件的a的值．

解答：解：（1）由題意知函數的自變量要滿足4-a^x＞0
∴a^x＜4
兩邊取對數，針對于底數與1的關系進行討論，
a＞1時，定義域（-∞，log_a4]；
0＜a＜1時，定義域[log_a4，+∞）
（2）不存在．
∵當a＞1時，定義域（-∞，log_a4]；
對于區間（2，+∞）上的一切x，
只有1＜a＜2，兩個范圍才有公共部分，
當1＜a＜2時，自變量為（2，log_a⁴]
ax-1≥2

4-ax

兩邊平方后移項整理成最簡形式，
（a^x+1）²≥16，
∴a^x+1≥4
∴a^x≥3
∵a^x是一個增函數，
∴只要a²≥3恒成立即可，
而當1＜a＜2時，不恒成立，
同理可得當0＜a＜1時，也不存在a，使得式子恒成立，
故總上可知不存在這樣的a．

點評：本題考查指數函數的定義域，考查函數的恒成立問題，考查指數函數的單調性，是一個綜合題目，這種題目考查的內容比較全面，可以作為解答題目出現在高考卷中．