Question

已知雙曲線方程，橢圓方程，A、D分別是雙曲線和橢圓的右準線與x軸的交點，B、C分別為雙曲線和橢圓的右頂點，O為坐標原點，且|OA|，|OB|，
|OC|，|OD|成等比數列．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若E是橢圓長軸的左端點，動點M滿足MC⊥CE，連接EM，交橢圓于點P，在x軸上有異于點E的定點Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線CP、MQ的交點，求點Q的坐標．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得A（1, 0），B（），
∵OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比數列．
∴，
∴a=2,
∴a=2, b=c=
∴所求橢圓的方程為；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C（2，0），E（﹣2，0），
設直線EM的方程為：y=k（x+2），P（x₁，y₁）
∵MC⊥CE，
∴M（2，4k）
將y=k（x+2）代入整理得（1+2k²）x²+8k²x+8k²﹣4=0
∵
∴
∴P（）
設Q（x₀，0），x₀≠﹣2
若以MP為直徑的圓恒過直線CP、MQ的交點，則MQ⊥CP

即·x₀=0恒成立
∴x₀=0
∴存在Q（0，0），使得以MP為直徑的圓恒過直線CP、MQ的交點．