Question

已知雙曲線方程，橢圓方程，A、D分別是雙曲線和橢圓的右準線與x軸的交點，B、C分別為雙曲線和橢圓的右頂點，O為坐標原點，且|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比數列．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若E是橢圓長軸的左端點，動點M滿足MC⊥CE，連接EM，交橢圓于點P，在x軸上有異于點E的定點Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線CP、MQ的交點，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由雙曲線方程，可求，根據|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比數列，可得，根據D是橢圓的右準線與x軸的交點，C為橢圓的右頂點，即可求得橢圓的方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C（2，0），E（-2，0），將y=k（x+2）代入整理得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0，可求P的坐標；設Q（x，0），x≠-2，若以MP為直徑的圓恒過直線CP、MQ的交點，則MQ⊥CP，從而有，進而可知存在Q（0，0），使得以MP為直徑的圓恒過直線CP、MQ的交點．
解答：解：（Ⅰ）由已知A是雙曲線的右準線與x軸的交點，B為雙曲線的右頂點，雙曲線方程，
∴
∵|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比數列．
∴
∵D是橢圓的右準線與x軸的交點，C為橢圓的右頂點，
∴
∴
∴所求橢圓的方程為；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C（2，0），E（-2，0），設直線EM的方程為：y=k（x+2），P（x₁，y₁）
∵MC⊥CE，∴M（2，4k）
將y=k（x+2）代入整理得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0
∵
∴
∴
∴P（）
設Q（x，0），x≠-2
若以MP為直徑的圓恒過直線CP、MQ的交點，則MQ⊥CP
∴
∵，
∴=0
∴
∴x=0
∴存在Q（0，0），使得以MP為直徑的圓恒過直線CP、MQ的交點．
點評：本題重點考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，解題的關鍵是將兩直線與橢圓方程聯立，將向量關系轉化為坐標關系．