Question

（2012•南充三模）已知平面非零向量

a

、

b

、

c

兩兩所成的角相等，且|

a

|=|

b

|=|

c

|=1，則|

a

+

b

 +

c

|的值為

3或0

．

Answer 1

分析：平面非零向量

a

、

b

、

c

兩兩所成的角相等，故向量

a

、

b

、

c

兩兩所成的角都等于120°或0°，分別求出

a

•

b

、

b

•

c

、

c

•

a

的值，再由|

a

+

b

 +

c

|=

( a + b + c )2

 求得結果．

解答：解：平面非零向量

a

、

b

、

c

兩兩所成的角相等，故向量

a

、

b

、

c

兩兩所成的角都等于120°或0°，
再由且|

a

|=|

b

|=|

c

|=1，可得當向量

a

、

b

、

c

兩兩所成的角都等于120°時，

a

•

b

=

b

•

c

=

c

•

a

=-

1

2

．
|

a

+

b

 +

c

|=

( a + b + c )2

=

3+3(-1)

=0．
當向量

a

、

b

、

c

兩兩所成的角都等于0°時，

a

•

b

=

b

•

c

=

c

•

a

=1．
|

a

+

b

 +

c

|=

( a + b + c )2

=

( a 2+ b 2+ c 2)+2 a • b +2 b • c +2 c • a

=3，
故答案為0或3．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的定義，求向量的模的方法，體現了分類討論的數學思想，要特別注意夾角為0°的情況，這是解題的易錯點．