Question

【題目】已知圓：（）與直線：相切，設(shè)點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，軸于，且動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）直線與直線垂直且與曲線交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）利用圓與直線相切，且圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，可以求出圓的方程，假設(shè)出點(diǎn)和 點(diǎn)的坐標(biāo)，利用，可以求出點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，用點(diǎn)坐標(biāo)表示出點(diǎn)坐標(biāo)，由于點(diǎn)在圓上，將點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程中，可以得出點(diǎn)的軌跡；

（2）由于直線 與直線垂直，可以得出直線的斜率，進(jìn)而可以假設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程及橢圓的方程，利用韋達(dá)定理可以表示出線段 的長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線的距離可以求出點(diǎn) 到 的距離，進(jìn)而可以求出 的表達(dá)式，利用基本不等式可以求出 面積的最大值.

試題解析：

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)?/span>軸于，所以，

設(shè)圓的方程為

由題意得，

所以圓的程為.

由題意, ，所以，

所以，即

將

代入圓,得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，

(Ⅱ)由題意設(shè)直線l設(shè)直線與橢圓交于

，聯(lián)立方程得，

，解得，

，

又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離， .

面積的最大值為．