Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求證：；

（2）討論函數的零點的個數。

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）將代入函數的表達式，求出f′（x），解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，得到最小值，即可證明；
（2）先求出函數的導數，通過討論a的范圍，從而求出函數的單調區間，得到函數的極值，進而求出函數的零點的個數．

（1）證明：當時，，則.

由.得.

當時，；當時，，

所以函數在區間內是減函數.在區間內是增函數，

所以是的極小值點，也是最小值點.且，

故當時.恒成立.

（2）解：據題意，得.

①當時，恒成立.則函數在上是減函數。

又，所以函數有且只有一個零點.

②當時.由，得.

當時，；

當時，，

所以在區間內是減函數，在區間內是增函數.

所以是函數的極小值點，也是最小值點，

即.

令，

則，

當時，；

當時，；

當時，，

所以函數在區間內是增函數，在區間內是減函數，

從而是函數的極大值點.也是最大值點，所以，

即（當且僅當時取等號）

當，即時，函數只有一個零點

當，即，且時，分和兩種情況討論：

（i）當時，，因為，所以在區間內有一個零點；又，因此有兩個零點.

（ii）當時，；

由（1），得.即，亦即.

令.則得，即，

所以，

所以在區間內有一個等點.

又，

因此函數有兩個零點.

由（i）和（ii），得當或時，函數有兩個零點.

綜上，當或時，函數只有一個零點；

當.且時，函數有兩個零點。